Господин S это знает. Но их сумма s может быть многими способами представлена в виде суммы двух чисел. Ни одна из этих пар не является парой простых чисел. Это условие гораздо более ограничительно: нужно вычеркнуть из списка возможных значений s все такие значения, которые являются суммами двух простых чисел — таковы 12 (так как 12 = 7 + 5), 13 (11 + 2). Компьютер позволит вам составить оставшийся список.

Господин P не может найти решение, так как его произведение может быть многими разными способами разложено в произведение двух чисел. Учитывая, что именно знает S, он исключает все пары, сумма которых вычеркнута. У него остается в точности одна пара. Каковы произведения, обладающие этим свойством?

Наконец, господин S получает решение. Следовательно, среди всех пар с суммой s есть только одна пара, дающая произведение с упомянутым выше свойством.

Компьютер нужен, чтобы порождать списки и вычеркивать в них. В конце должна оставаться одна и только одна пара.

Головоломка 16.

Я предлагаю вам решить эту задачу в два приема.

1. Составьте сначала программу по методу Полларда-Брента о «маленькими» числами, иначе говоря, такими, что машина представляет их бее округления или усечения, Это зависит от машины. Я на своей машине могу получить около 8·106, что немного. Возникают еще некоторые сомнения, как только принимаются во внимание деления…

Чтобы узнать, становится ли последовательность периодической, вы можете ограничиться рассмотрением разностей ai– aj, где i и j меняются в соответствии с вполне определенными законами, Вам следует рассматривать н. о. д. этих разностей и n. Это невыполнимо для каждой разности и потребует много времени.

Идея в том, чтобы образовать произведение на некоторое число этих разностей по модулю n, а затем брать н. о. д. этих разностей и n. Если одна из этих разностей имеет с n н. о. д., отличный от 1, то для произведения будет выполняться то же самое. Выбор числа членов для участия в произведении предоставляется вашему усмотрению. Если членов слишком мало, то вы вычисляете много н о. д. и замедляете метод. Если членов много, то вы делаете ненужные операции! вы долго ждете перед тем, как обнаружить делитель…

2. Если эта первая программа уже готова, переходите к гораздо большим числам. Нужно выполнить следующие операции:

произведение двух чисел по модулю n,

н. о. д. двух чисел, числа n и числа, меньшего n.

Настоящая трудность — это произведение по модулю n. Так как к ней часто обращаются, то она должна быть оптимальной…

Может оказаться опасным пускаться в этот метод Полларда, не зная, является ли исследуемое число составным. Используйте для этого тест Ферма.

В этом единственную трудность представляет возведение x в степень n– 1 по модулю n.

Следовательно, пусть нужно вычислить y = xp.

Примем следующую индуктивную гипотезу: искомый результат имеет вид y = ukw.

Если k есть нуль, то uk = 1 и потому у = w, и все закончено.

Если k не нуль и если k четно, то uk = u2(k/2) = (u2)k/2.

Заменяя u на u * u и k на k/2 возвращаемся к общей ситуации.

Если k нечетно, то uk = u * u2((k– 1)/2)

w * uk = (w * u) * (u2)(k– 1)/2

Заменим w на w * u, u на u * u и k на целую часть от k/2.

Все это должно проделываться по модулю n. Операции над k не содержат трудностей. Если числа достаточно малы, то вы действуете обычными умножениями или делениями.

Если же числа не являются достаточно малыми, то все сводится к предыдущему случаю. Но у вас здесь есть элемент ответа. Я уже говорил вам, как можно вычислить y = xp с помощью бинарного разложения p, выполняя умножения только по модулю n. Переделайте то же рассуждение для y = p * x, заменяя возведение в степень умножением, а умножение — сложением. Предположите, что результат имеет вид