Сам закон получается вот откуда. Обозначим нарастающую массу нашего снежного кома буквой игрек (у), тогда скорость ее нарастания есть производная массы по времени, то есть dy/dt. Если обходиться без высшей математики, то можно эту же скорость вычислить, деля прирост массы кома у на время t, за которое он произошел: dy/dt.

Экспоненциальная зависимость требует прямой пропорциональности в каждый момент времени между растущей массой кома у и скоростью налипания на ком снега

Следовательно, общее условие прямой пропорциональности запишется так:

Если такая зависимость справедлива, например, для народонаселения планеты, то с увеличением его, скажем, в три раза скорость его прироста тоже должна возрасти в три раза. Это, в свою очередь, ускорит дальнейшее нарастание численности населения и, соответственно, пропорциональное нарастание скорости его прироста и т. д.

Если ничто не нарушит прогресса с такой прямой пропорциональностью, то у может достичь сколь угодно больших величин.

В примере со снежным комом естественным ограничением явится длина снежного склона.

Если склон очень длинен, например, вы пустили снежок с вершины или седловины Эльбруса, то при больших значениях у сильно возрастет сопротивление воздуха, его движение замедлится, скорость налипания y/t упадет, нарастание кома замедлится, прямая пропорциональность нарушится.

Теперь естественно спросить, по какому же закону во времени должна нарастать масса нашего снежного кома у, чтобы была прямая пропорциональность между y и y/t?

Оказывается, есть только одна удивительная функция, которая при всех значениях пропорциональна своей производной, удовлетворяющая нашему уравнению. Вот она:

где у0 — начальная масса нашего кома (снежка) в момент t = 0, а — постоянный коэффициент, зависящий в нашем примере от крутизны склона и состояния снега.

Графическое изображение этой зависимости и получило название экспоненты.

Для нее характерно: при малых значениях величины у она нарастает очень медленно и ползет вверх, как черепаха, но по мере увеличения у кривая все круче забирает вверх и при больших у, как ракета, уходит ввысь.

Нарастание какой-либо величины по такому закону и получило название экспоненциального.

Кривая эта, спокойно занимая свое скромное место в гигантском арсенале математических функций, и не подозревала, что ей уготована великая честь — определять развитие основных показателей земной цивилизации (в том числе и самой математики).

Теперь эта роль вскрыта и ее загадочное «имя» — экспонента — стало очень популярно и замелькало в книгах, журналах, докладах.

Рядом с двумя гигантами, на которых стоял ньютоновский классический мир, — Массой и Энергией — в последние десятилетия был обнаружен третий, не менее могучий, — Информация. Кибернетика и теория информации открыли глаза людям на этого гиганта. Нет живого организма, в котором не бежали бы по внутренним каналам биты информации, нельзя построить умную машину, в которой не сновали бы те же биты, несущие команды управления и информацию о ее состоянии, нельзя представить себе сообщества разумных (людское, некоторые относят сюда и дельфинье) и неразумных (муравьи, пчелы и др.) существ без своих систем связи. Можно даже всю нашу земную цивилизацию рассматривать как единую кибернетическую систему, как систему регулирования с огромным числом элементов (например, каждый человек — один элемент) и сложной обратной связью.

Отсюда и вытекает определение цивилизации как системы, стремящейся получить максимум информации об окружающей среде и о себе самой, абстрактно анализирующей эту информацию и использующей ее для выработки реакций, сохраняющих и укрепляющих саму систему.

Такие явления, как войны, эпидемии и т. п., можно считать временными внутренними помехами в системе, которые, несомненно, будут в конце концов навсегда устранены в процессе ее регулирования по цепи обратной связи.

Можно спорить с этим определением, но нельзя отрицать факт — в основе развития человечества лежит непрерывный процесс получения, накопления, передачи и использования информации.

Безусловно, если бы удалось застопорить этот процесс хотя бы временно, то загнивание цивилизации было бы неизбежным. Но миллионы лет жестокой борьбы человека за свое существование выработали в нем непобедимое стремление к новому, к неизведанному, к совершенствованию орудий труда и самого себя. Вот почему процесс накопления информации принципиально остановить невозможно. Он непрерывно нарастает. И нарастает по экспоненте!