|v|2 = a2 + b2 + c2 + d2

При умножении двух векторов длина их произведения совпадает с произведением длин сомножителей:

|v x w| = |v||w|

Для заданного вектора v часто полезным оказывается понятие сопряженного вектора, который мы будем обозначать v* и определять как вектор, компоненты которого по трем пространственным направлениям противоположны соответствующим компонентам v, а временная компонента совпадает с временной компонентой v:

v* = – a • Восток – b • Север – c • Верх + d • Будущее

Умножение исходного вектора на сопряженный к нему дает очень простой результат:

v x v* = (a2 + b2 + c2 + d2) • Будущее = |v|2 • Будущее

Поскольку Будущее в этой числовой системе играет роль единицы, то для вектора v единичной длины сопряженный вектор v* будет совпадать с обратным v– 1. Если же длина вектора v отлична от единицы, то обратный вектор также можно выразить через сопряженный, разделив последний на квадрат длины:

v– 1 = v* / |v|2

В силу этой тесной взаимосвязи между сопряженным и обратным векторами нетрудно увидеть, что при вычислении сопряженного произведения их порядок нужно поменять на противоположный так же, как и в случае с делением:

(v x w)* = w*x v*

Спроецировав на направление Будущее произведение вектора v и сопряженного вектора w*, можно получить полезную информацию о геометрических свойствах векторов v и w:

Проекция v x w* на Будущее = aA + bB + cC + dD = |v||w| cos (угол между v и w)

Величина, стоящая в правой части первого равенства, и представляющая собой сумму произведений четырех компонент (a, b, c, d) вектора v на соответствующие компоненты (A, B, C, D) вектора w, называется скалярным произведением векторов v и w. Как показывает второе равенство, скалярное произведение зависит только от длина векторов и угла между ними.

Любой поворот четырехмерного пространства можно описать парой фиксированных векторов g и h, причем для осуществления поворота заданный вектор нужно умножить слева на g, а затем поделить справа на h. Иначе говоря, поворот вектора выражается так:

v -> g x v / h

Так, поворот, меняющий местами Север и Юг, а также Будущее и Прошлое, оставляя неизменными все векторы, перпендикулярные этой четверке, можно описать с помощью пары g = Юг, h = Север. Как доказать, что эта операция действительно является поворотом? Во-первых, она, как легко убедиться, не меняет длину вектора v, поскольку |g| = |h| = |h– 1| = 1 и

|g x v / h| = |g||v||h– 1| = |v|

Кроме того, мы можем выяснить, как та же самая операция, примененная к двум векторам, влияет на угол между ними, применив ее к v x w*:

v -> g x v / h

w -> g x w / h

v x w* -> (g x v / h) x (g x w / h)* =

= g x v x h– 1 x (g x w x h– 1)* =

= g x v x h– 1 x h x w* x g– 1 =

= g x (v x w*) x g– 1