Векторное частное w / v определяется как результат умножения (справа) на v– 1 :

Поскольку умножение не обладает свойством коммутативности, при вычислении обратного вектора или частного двух векторов необходимо внимательно следить за порядком аргументов. Обращение произведения двух векторов меняет их порядок на противоположный:

(v x w)– 1 = w– 1x v– 1

Перемена мест сомножителей гарантирует, что исходные векторы будут взяты в надлежащем порядке и дадут в итоге результат, равный Будущему.

(v x w)– 1 x (w– 1x v– 1) = v x Будущееx v– 1 = Будущее

(w– 1x v– 1)x (v x w)– 1 = w– 1 x Будущееx w = Будущее

Аналогичным образом порядок меняется и при делении на произведение векторов:

u / (v x w)= u x (v x w)– 1 = u x w– 1x v– 1 = (u / w)/ v

Хотя в таблицах умножения и деления приведены только результаты для четырех главных векторов, эти операции применимы к любым векторам (исключение составляет деление на нулевой вектор). В общем случае произвольный вектор можно представить в виде суммы векторов, кратных четырем главным направлениям:

v = a • Восток + b • Север + c • Верх + d • Будущее

Здесь a, b, c, d – вещественные числа, которые могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Определим теперь еще один вектор w, используя другой набор вещественных чисел A, B, C, D:

w = A • Восток + B • Север + C • Верх + D • Будущее

Для умножения v и w мы можем воспользоваться правилами обычной алгебры, принимая во внимание порядок сомножителей:

v x w =

= (a • Восток + b • Север + c • Верх + d • Будущее)x (A • Восток + B • Север + C • Верх + D • Будущее) =

x

= aA• Восток x Восток + aB• Восток x Север +

+ aC• Восток x Верх + aD• Восток x Будущее +

+ bA• Север x Восток + bB• Север x Север +

+ bC• Север x Верх + bD• Север x Будущее +

+ cA• Верх x Восток + cB• Верх x Север +

+ cC• Верх x Верх + cD• Верх x Будущее +

+ dA• Будущее x Восток + dB• Будущее x Север +

+ dC• Будущее x Верх + dD• Будущее x Будущее =

= (aD + bC – cB + dA) • Восток +

+ (–aC + bD + cA + dB) • Север +

+ (aB – bA + cD + dC) • Верх +

+ (–aA — bB – cC + dD) • Будущее

Длину вектора можно определить с помощью четырехмерного аналога теоремы Пифагора. Для обозначения длины вектора v мы будем использовать запись |v|. Через компоненты четырех главных направлений она выражается следующим образом: