v = a • Восток + b • Север + c • Верх + d • Будущее

Здесь a, b, c, d – вещественные числа, которые могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Определим теперь еще один вектор w, используя другой набор вещественных чисел A, B, C, D:

w = A • Восток + B • Север + C • Верх + D • Будущее

Для умножения v и w мы можем воспользоваться правилами обычной алгебры, принимая во внимание порядок сомножителей:

v x w =

= (a • Восток + b • Север + c • Верх + d • Будущее)x (A • Восток + B • Север + C • Верх + D • Будущее) =

x

= aA• Восток x Восток + aB• Восток x Север +

+ aC• Восток x Верх + aD• Восток x Будущее +

+ bA• Север x Восток + bB• Север x Север +

+ bC• Север x Верх + bD• Север x Будущее +

+ cA• Верх x Восток + cB• Верх x Север +

+ cC• Верх x Верх + cD• Верх x Будущее +

+ dA• Будущее x Восток + dB• Будущее x Север +

+ dC• Будущее x Верх + dD• Будущее x Будущее =

= (aD + bC – cB + dA) • Восток +

+ (–aC + bD + cA + dB) • Север +

+ (aB – bA + cD + dC) • Верх +

+ (–aA — bB – cC + dD) • Будущее

Длину вектора можно определить с помощью четырехмерного аналога теоремы Пифагора. Для обозначения длины вектора v мы будем использовать запись |v|. Через компоненты четырех главных направлений она выражается следующим образом:

|v|2 = a2 + b2 + c2 + d2

При умножении двух векторов длина их произведения совпадает с произведением длин сомножителей:

|v x w| = |v||w|

Для заданного вектора v часто полезным оказывается понятие сопряженного вектора, который мы будем обозначать v* и определять как вектор, компоненты которого по трем пространственным направлениям противоположны соответствующим компонентам v, а временная компонента совпадает с временной компонентой v:

v* = – a • Восток – b • Север – c • Верх + d • Будущее

Умножение исходного вектора на сопряженный к нему дает очень простой результат:

v x v* = (a2 + b2 + c2 + d2) • Будущее = |v|2 • Будущее

Поскольку Будущее в этой числовой системе играет роль единицы, то для вектора v единичной длины сопряженный вектор v* будет совпадать с обратным v– 1. Если же длина вектора v отлична от единицы, то обратный вектор также можно выразить через сопряженный, разделив последний на квадрат длины:

v– 1 = v* / |v|2