– Если мы хотим, чтобы это сработало, потребуется прояснить один момент, – осенило Карлу. – Если у нас есть пара комплексных чисел, и мы умножаем их на квадратный корень из минус единицы, то каждое из них преобразуется независимо от другого. Умножение никоим образом не перемешивает исходные числа – оно просто поворачивает комплексную плоскость на четверть оборота, превращая вещественные числа в мнимые, а мнимые – в вещественные. Следовательно, если мы собираемся отождествить две плоскости 4-пространства с комплексными плоскостями, нам потребуется некая эквивалентная операция.

– Но ведь я это только что нарисовал! – воскликнул Ромоло. – При умножении слева на вектор Верх содержимое плоскости Будущее-Верх поворачивается на четверть оборота, так же, как и содержимое плоскости Север-Восток. Векторы, изначально находящиеся в одной из этих плоскостей, остаются в ней и после поворота. Если проделать это дважды – возвести в квадрат – то в обеих плоскостях произойдет поворот на 1800, что эквивалентно умножению на минус единицу. Иными словами, мы можем считать, что эти плоскости играют роль пары комплексных чисел и использовать левое умножение на Верх в качестве квадратного корня из минус единицы!

Но Карле этого было недостаточно.

– Хорошо, само по себе это работает идеально. Но что произойдет, если физически повернуть и сам светород? Если я поворачиваю обычный вектор, а затем удваиваю его, результат должен быть точно таким же, как если бы я сначала удвоила вектор и только потом повернула, верно?

– Само собой. – Ромоло был озадачен, но затем понял, к чему она клонит. – То есть что бы мы ни использовали для умножения на корень из минус единицы, результат не должен зависеть от того, применяется ли умножение после поворота или до него?

– Именно.

На лице Патриции отразилось сомнение.

– Мне кажется, мы не сможем этого добиться, – сказала она. – Как быть с поворотом, который получается при умножении слева на Восток с последующим делением справа на Будущее? Будущее играет роль единицы, оно не влияет на результат, поэтому в итоге получается:

– Умножение на квадратный корень из минус единицы, согласно определению Ромоло, имеет вид:

– Комбинируя это с поворотом, имеем:

– Но если сначала выполнить поворот, а затем умножить результат на корень из минус единицы, то:

– Результат зависит от порядка, – заключила Патриция. – Поскольку при умножении двух векторов их порядок менять нельзя, эта штука будет постоянно здесь всплывать и все портить.

Она была права. На роль квадратного корня из минус единицы подходили и другие кандидаты, помимо предложенного Ромоло, но все они страдали от аналогичных проблем. Можно было умножать векторы слева или справа на Верх или Низ, Восток или Запад, Север или Юг; все эти случаи описывали поворот на 900 в двух различных плоскостях. Но в каждом конкретном случае можно было указать поворот, для которого эта схема терпела крах.

Ромоло отнесся к своему поражению с юмором.

– Два плюс два равно четырем, но природе есть дело только до некоммутативного умножения.

Патриция стерла с груди вычисления, но Карла заметила, как она вынашивает в голове какую-то мысль.

– Что, если светородная волна подчиняется другому правилу? – предположила она. – Это по-прежнему пара комплексных чисел, из которых опять-таки можно сконструировать некий четырехмерный объект – однако при повороте светорода этот объект преобразуется иначе, чем вектор.

– Какому же закону он в таком случае подчиняется? – спросила Карла.

– Предположим, что в качестве квадратного корня из минус единицы мы выбираем умножение справа на вектор Верх, – ответила Патриция. – Тогда умножение слева всегда будет коммутировать с этой операцией: результат не зависит от того, какая из них выполняется первой.

– Разумеется, – согласилась Карла. – Но в чем состоит твой закон вращения?

– Просто умножение слева, – сказала Патриция. – Всякий раз, когда обычный вектор поворачивается при умножении слева и делении справа, этот новый объект – назовем его «лефтором» – ограничивается только первой операцией. Делить его не нужно. – Она начеркала на груди два уравнения:

Карла смутилась.

– То есть ты используешь только половину описания поворота? Остальное просто выбрасывается?

– А почему бы и нет? – парировала Патриция. – Разве это не дает возможность свободно умножать справа – благодаря чему корень из минус единицы может коммутировать с поворотом?

– Да, но нужно удовлетворить и другим условиям! – Карла услышала нетерпение в своем голосе; усилием воли она заставила себя успокоиться. Хотя она мучилась от голода и опаздывала на встречу с Карло, ей все равно пришлось бы голодать до завтра, а прервав разговор сейчас, она бы впоследствии об этом пожалела.